Sådan løses logaritmiske ligninger

Indhold

• etaper
• Indledende: vide, hvordan man omdanner en logaritmisk ligning til en ligning med kræfter
• Metode 1 Find x
• Metode 2 Find x ved hjælp af logaritme-produktreglen
• Metode 3 Find x ved hjælp af t logaritme-kvotientregel

Logaritmiske ligninger er ikke ved første øjekast de nemmeste at løse i matematik, men de kan omdannes til ligninger med eksponenter (eksponentiel notation). Så hvis du formår at foretage denne transformation og hvis du mestrer beregningen med kræfterne, skal du let løse denne form for ligninger. NB: udtrykket "log" bruges fra tid til anden i stedet for "logaritme", de kan udskiftes.

etaper

Indledende: vide, hvordan man omdanner en logaritmisk ligning til en ligning med kræfter

1. 
   

   
   Lad os starte med definitionen af ​​logaritme. Hvis du ønsker at beregne logaritmer, skal du vide, at de ikke er andet end en særlig måde at udtrykke kræfter på. Lad os starte med en af ​​de klassiske betingelser for logaritme:
   • y = log_b (X)
     • hvis og kun hvis: b = x
   • b er basis for logaritmen. To betingelser skal være opfyldt:
     • b> 0 (b skal være strengt positiv)
     • b må ikke være lig med 1
   • I eksponentiel notation (anden ligning ovenfor) der er kraften og x er det såkaldte eksponentielle udtryk, faktisk den værdi, man ser efter loggen på.

2. 
   

   
   
   
   Se ligningen nøje. I lyset af en logaritmisk ligning skal vi identificere basen (b), kraften (y) og det eksponentielle udtryk (x).
   • eksempel : 5 = log₄(1024)
     • b = 4
     • y = 5
     • x = 1024

3. 
   

   
   Placer det eksponentielle udtryk på den ene side af ligningen. Placer for eksempel din værdi x til venstre for skiltet "=".
   • eksempel : 1024 = ?

4. 
   

   
   Løft basen til den angivne magt. Den værdi, der er tildelt til databasen (b) skal ganges med sig selv så mange gange som strømmen indikerer (der).
   • eksempel : 4 x 4 x 4 x 4 x 4 =?
     • I korthed giver dette: 4

5. 
   

   
   
   
   Skriv dit svar. Du er nu i stand til at omskrive logaritmen i eksponentiel notation. Sørg for, at din lighed er korrekt ved at gøre om beregningen.
   • eksempel : 4 = 1024

Metode 1 Find x

1. 
   

   
   Isoler logaritmen. Målet er faktisk at nedbryde loggen første gang. Til dette passerer vi alle ikke-logaritmiske medlemmer på den anden side af ligningen. Glem ikke at vende de operative tegn!
   • eksempel : log₃(x + 5) + 6 = 10
     • log₃(x + 5) + 6 - 6 = 10 - 6
     • log₃(x + 5) = 4

2. 
   

   
   Skriv ligningen i eksponentiel form. For at kunne finde "x" skal du gå fra logaritmisk notation til eksponentiel notation, hvor sidstnævnte er lettere at løse.
   • eksempel : log₃(x + 5) = 4
     • Fra den teoretiske ligning y = log_b (X)], anvend det på vores eksempel: y = 4; b = 3; x = x + 5
     • Skriv ligningen som: b = x
     • Vi får her: 3 = x + 5

3. 
   

   
   finde x. Du står nu overfor en ligning af den første grad, som er let at løse. Det kan være anden eller tredje grad.
   • eksempel : 3 = x + 5
     • (3) (3) (3) (3) = x + 5
     • 81 = x + 5
     • 81 - 5 = x + 5 - 5
     • 76 = x

4. 
   

   
   Indtast dit endelige svar. Den værdi, du fandt for "x", er svaret på din logaritmiske ligning: log₃(x + 5) = 4.
   • eksempel : x = 76

Metode 2 Find x ved hjælp af logaritme-produktreglen

1. 
   

   
   Du skal kende reglen om produkt (multiplikation) af logfilerne. I henhold til den første egenskab ved logfilerne, det, der vedrører produktet af logfilerne (af samme base sentend!), Er loggen for et produkt lig med summen af ​​logfilerne for elementerne i produktet. illustration:
   • log_b(m x n) = log_b(m) + log_b(N)
   • To betingelser skal være opfyldt:
     • m> 0
     • n> 0

2. 
   

   
   Isoler logfilerne på den ene side af ligningen. Målet er faktisk at nedbryde først logfilerne. Til dette passerer vi alle ikke-logaritmiske medlemmer på den anden side af ligningen. Glem ikke at vende de operative tegn!
   • eksempel : log₄(x + 6) = 2 - log₄(X)
     • log₄(x + 6) + log₄(x) = 2 - log₄(x) + log₄(X)
     • log₄(x + 6) + log₄(x) = 2

3. 
   

   
   Anvend reglen om produktet af logfilerne. Her vil vi anvende det i den modsatte retning, nemlig at summen af ​​logfilerne er lig med produktets log. Hvad giver os:
   • eksempel : log₄(x + 6) + log₄(x) = 2
     • log₄ = 2
     • log₄(x + 6x) = 2

4. 
   

   
   Omskriv ligningen med kræfter. Husk, at en logaritmisk ligning kan omdannes til en ligning med eksponenter. Som før vil vi gå til eksponentiel notation for at hjælpe med at løse problemet.
   • eksempel : log₄(x + 6x) = 2
     • Start med den teoretiske ligning, lad os anvende det på vores eksempel: y = 2; b = 4; x = x + 6x
     • Skriv ligningen som: b = x
     • 4 = x + 6x

5. 
   

   
   finde x. Du står nu overfor en anden grads ligning, som er let at løse.
   • eksempel : 4 = x + 6x
     • (4) (4) = x + 6x
     • 16 = x + 6x
     • 16 - 16 = x + 6x - 16
     • 0 = x + 6x - 16
     • 0 = (x - 2) (x + 8)
     • x = 2; x = -8

6. 
   

   
   Skriv dit svar. Ofte har vi to svar (rødder). Det bør kontrolleres i startligningen, hvis disse to værdier er egnede. Vi kan faktisk ikke beregne log på et negativt tal! Indtast det eneste gyldige svar.
   • eksempel : x = 2
   • Vi vil aldrig huske det nok: loggen med et negativt tal findes ikke, så du kan her afvise - 8 som en løsning. Hvis vi tog -8 som svar, i den grundlæggende ligning, ville vi have: log₄(-8 + 6) = 2 - log₄(-8), dvs. log₄(-2) = 2 - log₄(-8). Kan ikke beregne log over en negativ værdi!

Metode 3 Find x ved hjælp af t logaritme-kvotientregel

1. 
   

   
   Du skal kende den regel, der vedrører opdeling af logfiler. I henhold til den anden egenskab ved logfilerne, det, der vedrører opdelingen af ​​logfilerne (af den samme base sentend!), Er en kvotients log lig med forskellen mellem tællerens log og nævnerens log. illustration:
   • log_b(m / n) = log_b(m) - log_b(N)
   • To betingelser skal være opfyldt:
     • m> 0
     • n> 0

2. 
   

   
   Isoler logfilerne på den ene side af ligningen. Målet er faktisk at nedbryde først logfilerne. Til dette passerer vi alle ikke-logaritmiske medlemmer på den anden side af ligningen. Glem ikke at vende de operative tegn!
   • eksempel : log₃(x + 6) = 2 + log₃(x - 2)
     • log₃(x + 6) - log₃(x - 2) = 2 + log₃(x - 2) - log₃(x - 2)
     • log₃(x + 6) - log₃(x - 2) = 2

3. 
   

   
   Anvend log-kvotientreglen. Her vil vi anvende det i den modsatte retning, nemlig at forskellen i logfilerne er lig med kvotientens log. Hvad giver os:
   • eksempel : log₃(x + 6) - log₃(x - 2) = 2
     • log₃ = 2

4. 
   

   
   Omskriv ligningen med kræfter. Husk, at en logaritmisk ligning kan omdannes til en ligning med eksponenter. Som før vil vi gå til eksponentiel notation for at hjælpe med at løse problemet.
   • eksempel : log₃ = 2
     • Start med den teoretiske ligning, lad os anvende det på vores eksempel: y = 2; b = 3; x = (x + 6) / (x - 2)
     • Skriv ligningen som: b = x
     • 3 = (x + 6) / (x - 2)

5. 
   

   
   finde x. Nu hvor der ikke er flere logfiler, men kræfter, skal du let finde det x.
   • eksempel : 3 = (x + 6) / (x - 2)
     • (3) (3) = (x + 6) / (x - 2)
     • 9 = (x + 6) / (x - 2)
     • 9 (x - 2) = (x - 2) & mdash; vi multiplicerer begge sider med (x - 2)
     • 9x - 18 = x + 6
     • 9x - x - 18 + 18 = x - x + 6 + 18
     • 8x = 24
     • 8x / 8 = 24/8
     • x = 3

6. 
   

   
   Indtast dit endelige svar. Tag dine beregninger tilbage og foretag en check. Når du er sikker på dit svar, skal du skrive det definitivt.
   • eksempel : x = 3