Sådan finder du bøjningspunkter

Indhold

• etaper
• Metode 1 Forstå bøjningspunktene
• Metode 2 Find derivaterne af en funktion
• Metode 3 Find et bøjningspunkt

I differentieringsberegning er et bøjningspunkt et punkt på en kurve, hvor tegnet på konkaviteten ændres (fra mere à mindre eller mindre à mere). Det bruges i forskellige discipliner, herunder teknik, økonomi og statistik, til at bestemme grundlæggende ændringer i data. For information om, hvordan man finder bøjningspunkter, gå til trin 1 nedenfor.

etaper

Metode 1 Forstå bøjningspunktene

1. 
   

   
   Forstå de konkave funktioner. For at forstå bøjningspunktene skal du vide, hvordan man kan skelne de konkave funktioner fra de konvekse funktioner. En konkav funktion er en funktion, hvor ingen linie, der forbinder to punkter på dens graf, passerer over grafen.

2. 
   

   
   Forstå konvekse funktioner En konveks funktion er i det væsentlige det modsatte af en konkav funktion: det er en funktion, hvor ingen linje, der forbinder to punkter på dens graf, passerer under grafen.

3. 
   

   
   Forstå rødderne af en funktion. Roden til en funktion er det punkt, hvor funktionen annullerer eller er lig med 0.
   • Hvis du er nødt til at tegne en funktion, er rødderne de punkter, hvor funktionen berører x-aksen.

Metode 2 Find derivaterne af en funktion

1. 
   

   
   
   
   Find det første derivat af funktionen. Inden du kan finde et bøjningspunkt, skal du finde derivaterne af funktionen. Afledte formler til grundlæggende funktioner kan findes i enhver beregning e. Du skal lære dem, før du går videre til mere komplekse øvelser. De første derivater betegnes f (x). For polynomiske udtryk i form af aksp + bx (p-1) + cx + d, er det første derivat apx (p-1) + b (p-1) x (p-2) + c.
   • For at illustrere skal du antage, at du skal finde inflexionspunktet for funktionen f (x) = x3 + 2x-1. Beregn den første derivat af denne funktion som følger:
     
     f? (x) = (x3 + 2x - 1) = (x3) + (2x) - (1) = 3x2 + 2 + 0 = 3x2 + 2
2. Find det andet derivat. Det andet derivat repræsenterer det første derivat af det første derivat af funktionen, betegnet f (X).

   
   

   
   
   • I eksemplet ovenfor beregner du det andet derivat af funktionen som følger:
     
     f (x) = (3x2 + 2) = 2 × 3 × x + 0 = 6x

3. 
   

   
   
   
   Annuller det andet derivat. Sæt det andet derivat lig med nul og løst ligningen. Dit svar ville sandsynligvis være et bøjningspunkt.
   • I eksemplet herunder ville beregningen være som følger:
     
     f (x) = 0
     6x = 0
     x = 0

4. 
   

   
   Find det tredje derivat af funktionen. For at finde ud af, om dit svar faktisk er et bøjningspunkt, skal du finde det tredje derivat, der er det første derivat af det andet derivat af funktionen, og som er betegnet med (X).
   • I eksemplet ovenfor:
     
     f (x) = (6x) = 6

Metode 3 Find et bøjningspunkt

1. 
   

   
   Evaluer det tredje derivat. Standardreglen til evaluering af et muligt bøjningspunkt er: hvis det tredje derivat ikke er lig med 0, er det sandsynlige bøjningspunkt faktisk et bøjningspunkt. Evaluer dit tredje derivat, hvis det ikke er lig med 0, er punktet faktisk et bøjningspunkt.
   • I eksemplet ovenfor er det tredje derivat 6 og ikke 0. Dette er faktisk et bøjningspunkt.

2. 
   

   
   Find bøjningspunktet. Koordinaten for bøjningspunktet er betegnet (x, f (x)) med x værdien af ​​det variable punkt på bøjningspunktet og f (x) værdien af ​​funktionen ved bøjningspunktet.
   • Husk i eksemplet ovenfor, at når du beregnet det andet derivat, gav x 0. Så du skal beregne f (0) for at bestemme dine koordinater. Din beregning ser sådan ud:
     
     f (0) = 03 + 2 × 0-1 = -1.

3. 
   

   
   Bemærk koordinaterne. Koordinaterne for bøjningspunktet er: værdien af ​​x og svaret fundet ovenfor.
   • I eksemplet ovenfor er koordinaterne for bøjningspunktet (0, -1).